|
Abstract:
|
U teoriji kategorija, koherencija koja je vezana za odre eni tip kategori-ja, u najgrubljem smislu znaqi komutiranje dijagrama sastavljenih od kanonskihstrelica tih kategorija. Ovo komutiranje mo e biti bezuslovno ili uslovljenozadatim pretpostavkama. U savremenom smislu, koherencija, taqnije teoremekoherencije, podrazumevaju postojanje vernog funktora iz slobodno generisa-ne kategorije datog tipa u kategoriju koja omogu ava proveru jednakosti stre-lica. Takve su najqex e kategorije qije su strelice relacije ili dijagrami(mnogostrukosti, kobordizmi).Rezultati koherencije su od velikog znaqaja za opxtu teoriju dokaza. Naime,oni obezbe uju formiranje zadovoljavaju eg kriterijuma za jednakost izvo enjau odre enim deduktivnim sistemima i na taj naqin pru aju mogu nost defini-sanja osnovnog pojma kojim se teorija dokaza bavi.Predmet ove doktorske disertacije je prouqavanje topoloxkih dokaza ko-herencije i formiranje novih klasa politopa koje u takvim dokazima koheren-cije mogu poslu iti. Sadr aj disertacije je, dakle, u najve oj meri posve enspomenutim dokazima koherencije, odnosno raznovrsnim geometrijskim realiza-cijama specifiqnih apstraktnih politopa koji su zadati kombinatorno.Naime, ranih devedesetih godina, Mihail Kapranov je uveo familiju e-lijskih kompleksa pod nazivom permutoasociedri koja predstavlja ,,hibrid” dveznaqajne familije prostih politopa–familije asociedara i familije permuto-edara. Ovaj hibrid je predstavljao prvu geometrijsku interpretaciju udru i-vanja komutativnosti i asocijativnosti. Kapranov je pokazao da je datom elij-skom strukturom proizveoCW-loptu qime je dobio direktan topoloxki dokazkoherencije u simetriqnim monoidalnim kategorijama. Ubrzo nakon toga, Vik-tor Rajner i Ginter Cigler su ove elijske komplekse realizovali kao fami-liju konveksnih politopa. Me utim, dobijena familija nije familija prostihpolitopa. S druge strane, i svi asociedri i svi permutoedri jesu prosti. Onipripadaju nestoedarima–xiroko izuqavanoj familiji prostih politopa, kako sakombinatorne strane, tako i sa strane primena u torusnoj topologiji.Polazixte ove teze je da je prirodno prona i prost hibrid ove dve fami-lije, tj. prost permutoasociedar. Koriste i kombinatornu proceduru sliqnuonoj koja je proizvela i same asociedre i permutoedre, u ovoj disertaciji seuvodi apstraktni politop koji odgovara problemu koherencije, a koji se pritommo e realizovati kao prost politop. Preciznije, formirane su klasen-dimen-zionalnih prostih permutoasociedara koje daju topoloxki dokaz simetriqnemonoidalne koherencije, a zatim su te klase i geometrijski realizovane eks-plicitnim zadavanjem nejednaqina poluprostora uRn+1koji definixu politopexiii
xivu klasama. Ovan-dimenzionalna realizacija je oznaqena saPAn. Pored toga,u tezi je ponu ena i alternativna realizacija iste familije uz pomo sumaMinkovskog. Naime, uvedena je familijan-dimenzionalnih politopa, oznaqe-na saPAn,c, koja je dobijena sumiranjem odre enih politopa. PolitopPAn,cjenormalno ekvivalentan politopuPAnza svakoc∈(0,1]. Req je o specifiqnojrealizaciji, po ugledu na realizaciju nestoedara Aleksandra Postnjikov, kojapodrazumeva da svaki sabirak, grubo reqeno, doprinosi nastajanju taqno jednepljosni rezultuju e sume Minkovskog. Drugim reqima, svaki sabirak dovodi dozarubljivanja teku e parcijalne sume odsecanjem jedne njene strane. Postnjikovje za sabirke koristio simplekse, dok ova disertacija pokazuje da je, u analog-noj realizaciji prostog permutoasociedra, za odre ene sabirke neophodno uzetipolitope koji ne samo da nisu simpleksi, ve nisu nu no ni prosti politopi. Usluqaju formiranja familijePAn,1, sabirci su definisani kao konveksni omo-taqi skupova taqaka uRn+1xto je znaqajna prednost sa stanovixta programi-ranja.Osim xto predstavlja direktan topoloxki dokaz teoreme koherencije u si-metriqnim monoidalnim kategorijama, poseban znaqaj ove alternativne reali-zacije je u uspostavljanju jasne veze izme u operacije sumiranja Minkovskogi operacije odsecanja strana permutoedra, tj. njegovog zarubljivanja. Iz oveveze implicitno sledi procedura za analognu realizaciju xire klase prostihpolitopa–familije prostih permutonestoedara.Na kraju, u tezi su date ocene hromatskih brojeva prostog permutoasociedrai nekih znaqajnih nestoedara, sa ciljem prouqavanja mogu e veze ovih klasapolitopa sa torusnim i kvazitorusnim mnogostrukostima.Tokom svih spomenutih istra ivanja, za potrebe ove disertacije je razvijenonekoliko softverskih rexenja (programa i aplikacija) uz pomo raznovrsnihprogramskih jezika i paketa (Java,polymake/Perl,Rhinoceros/ Grasshopper). Naj-znaqajnija me u njima opisana su u dodatku teze programskim kodom i odgo-varaju im ilustrativnim primerima. |